1.2.1. Średnie. Nierówności między średnimi

ŚREDNIE

Średnia arytmetyczna

$$\overline{a} = \frac{a_{1} + a_{2} + … + a_{n}}{n}$$

Średnia arytmetyczna – najbardziej popularna ze średnich. Jest to suma podzielona przez ich liczbę.

Średnia ważona

Średnia ważona – wykorzystywana, gdy nasze wartości mają różne wagi (np. sprawdzian jest “ważniejszy” niż kartkówka, stąd sprawdzian będzie miał wyższą wagę). Im większa waga zmiennej, tym ta zmienna ma większy wpływ na średnią. Najczęściej wykorzystywana jest średnia ważona arytmetyczna.

$$\overline{a}_w = \frac{a_{1}w_{1} + a_{2}w_{2} + … + a_{n}w_{n}}{w_{1} + w_{2} + … + w_{n}}$$

gdzie:

$w_i$ – waga elementu $i$

Średnia geometryczna

Średnia geometryczna – średnia ta jest pierwiastkiem n-tego stopnia z iloczynu naszych n liczb. Może być wykorzystywana do wyliczania wartości w ciągu geometrycznym.

$$\overline{g} = \sqrt[n]{a_{1} \cdot a_{2} \cdot … \cdot a_{n}} \ \ \ \ \left(a_{i} \geq 0 \ \text{dla} \ i = 1, 2, …, n \right) \\$$

Skąd to założenie? Wiemy z własności pierwiastków, że pierwiastek parzystego stopnia w liczbach rzeczywistych nie może mieć w sobie liczby ujemnej (ale to pewnie już dobrze wiesz!).

Średnia kwadratowa

$$\overline{k} = \sqrt{\frac{\left( a_{1} \right)^{2} + \left( a_{2} \right)^{2} + … + \left( a_{n} \right)^{2}}{n}}\\$$

Średnia kwadratowa – średnia ta jest pierwiastkiem drugiego stopnia z sumy kwadratów wartości podzielonej przez ich liczbę. Stosuje się nią między innymi przy obliczaniu odchylenia standardowego, które jest równe średniej różnic pomiędzy pomiarem, a wartością oczekiwaną.

Nierówności między średnimi

Zastanawiasz się pewnie po co te wszystkie średnie, skoro na co dzień używamy tylko arytmetycznej lub ważonej?

Między wyżej wymienionymi średnimi zachodzą zawsze nierówności:

$$\overline{k} \geq \overline{a} \geq \overline{g}$$

Równe są tylko wtedy, kiedy wszystkie elementy $a_i$ są sobie równe.

Nierówności te bardzo często wykorzystuje się w zadaniach dowodowych.